На первый взгляд пример 2 + 6 : 2 × 3 − 4 кажется простым, однако без правильного порядка действий легко получить неправильный ответ.
В математическом примере нет скобок, поэтому результат зависит от общепринятого порядка выполнения арифметических действий. Сначала нужно выполнить умножение и деление, а затем – сложение и вычитание. При этом умножение и деление имеют одинаковый приоритет, как и сложение с вычитанием, поэтому действия одного уровня выполняются слева направо.
Сначала выполняем деление, затем умножение, а после этого – сложение и вычитание:
Итак, правильный ответ – 7.
Одна из распространенных ошибок – выполнять все действия последовательно слева направо, не учитывая их приоритет. В таком случае сначала складывают 2 и 6, затем делят полученное число на 2, умножают на 3 и вычитают 4:
Так можно получить результат 8, но он неверный, поскольку деление и умножение нужно выполнить до сложения.
Такой результат может показать и простой калькулятор, который вычисляет выражение последовательно после нажатия каждой клавиши. Поэтому важно понимать порядок действий, а не полагаться только на автоматические вычисления устройства.
Еще одна ошибка – сначала выполнять сложение и вычитание, а уже потом деление и умножение. При таком подходе можно получить выражение, которого в исходном примере нет:
Результат −4 соответствует другому выражению – (2 + 6) : 2 × (3 − 4). В нем добавлены скобки, которые изменяют порядок вычислений. Без них выполнять сложение и вычитание первыми нельзя.
Еще одна распространенная ошибка возникает из-за неправильного запоминания правил: некоторые считают, что умножение всегда имеет приоритет над делением.
Если в исходном примере сначала умножить 2 и 3, получится:
Однако такой порядок действий неправильный. Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому их выполняют слева направо. Именно это правило дает правильный ответ – 7.
В англоязычных странах для запоминания порядка арифметических действий используют специальные сокращения. В США распространено обозначение PEMDAS, а в Великобритании – BODMAS.
Обе аббревиатуры напоминают о скобках, степенях, умножении, делении, сложении и вычитании. Важно, однако, не воспринимать последовательность букв как правило, согласно которому умножение всегда выполняется перед делением. Эти действия имеют одинаковый приоритет, как и сложение с вычитанием.
Почему в математике используют точку для умножения и двоеточие для деления
Обозначения арифметических действий также имеют свою историю. Знак умножения в виде наклонного крестика ввел английский математик Уильям Отред в первой половине XVII века. В свою очередь, Готфрид Вильгельм Лейбниц предложил использовать точку для умножения, поскольку крестик мог напоминать букву x, которую используют для обозначения неизвестной величины в алгебре.
Лейбниц также использовал двоеточие в качестве знака деления. Именно эти обозначения – точка для умножения и двоеточие для деления – используются во многих школьных математических записях.